La simplificación de funciones permite,
partiendo de la función origen, hallar la función lógica más elemental
equivalente a la anterior. Dicha función equivalente debe veri ficar dos
condiciones:
–
Poseer el menor número de términos posible, y, a su vez,
– Los
términos que conforman la nueva función deben incluir el menor número de
variables posible.
Métodos
de simplificación
La
simplificación puede llevarse a cabo recurriendo a tres procedimientos
genéricos:
*
Método directo: utilizando las propiedades y teoremas del Algebra de Boole.
*
Método de Karnaugh: aplicando los denominados Mapas de Karnaugh.
Los
próximos apartados exponen los tres procedimientos básicos de simplificación de
funciones lógicas a través de sendos ejemplos.
Método
directo
Consiste
en la aplicación de los teoremas y propiedades inherentes al Algebra de Boole.
Este
método se utiliza para la simplificación de funciones sencillas de pocas
variables. Su aplicación en funciones complejas de elevado número de variables
es problemática debido a la dificultad de distinguir las circunstancias
específicas favorables a la aplicación de una determinada propiedad o teorema.
Seguidamente
se relacionan las propiedades y teoremas fundamentales a utilizar como
herramienta de simplificación:
*
Propiedades
–
Elemento neutro:
a + 0 =
a
a · 1 =
a
–
Elemento complementario:
_
a + a =
1
_
a·a = 0
–
Propiedad distributiva, respecto a la suma y producto lógico:
a·(b +
c) = ab + ac
a +
(bc) = (a + b)·(a + c)
*
Teoremas
–
Principio de conservación:
a + a =
a
a·a = a
– Ley
de absorción:
a + ab
= a
a·(a +
b) = a
– Leyes
de De Morgan:
a + b +
c + … = a · b · c …
a·b·c …
= a + b + c +…
* Otras
propiedades
–
Propiedad reductiva:
a·f
(a,b,c,…) = a·f (1,b,c,…)
a·f
(a,b,c,…) = a·f (0,b,c,…)
Aplicando
el principio de dualidad se demuestran las expresiones complementarias:
a + f
(a,b,c,…) = a + f (0,b,c,…)
a + f
(a,b,c,…) = a + f (1,b,c,…)
Para
hacer efectiva la simplificación se van considerando las diversas propiedades y
teoremas expuestos, aplicando aquellos que introduzcan una mayor eliminación de
términos o de variables en la función a simplificar.
Método
de Karnaugh
Este
método de simplificación se utiliza primordialmente, al igual que el anterior,
con funciones de reducido número de variables. Orientativamente para funciones
de 2 a 5 variables.
El
procedimiento es el que se detalla a continuación:
*
Construir el Mapa de Karnaugh correspondiente al número de variables de la
función a simplificar.
Los que
siguen son los mapas de Karnaugh apropiados para funciones lógicas de 2, 3 y 4
* Mapa
de Karnaugh para 2 variables:
Método
directo
Método
directo
* Mapa
de Karnaugh para 3 variables:
Mapa de
Karnaugh para dos variables
Mapa de
Karnaugh para tres variables
* Mapa
de Karnaugh para 4 variables:
Mapa de
Karnaugh para 4 variables
Mapa de
Karnaugh para 4 variables
*
Supuesta la función expresada en forma de sumatorio de minterms, introducir
tales minterms mediante un “1” en las correspondientes casillas del mapa de
Karnaugh.
*
Agrupar en el mapa conjuntos de “1s” en número tal que, invariablemente, sea
una potencia de 2 (1, 2, 4, 8, …).
Hay que
considerar que:
– Se
empieza la simplificación realizando las agrupaciones de mayor número de
términos, continuando progresivamente con las de menor número de minterms.
– Los
bordes del mapa de Karnaugh se consideran adyacentes: el borde superior enlaza
con el inferior, y los bordes laterales lo hacen entre sí.
–
Aunque un minterm haya sido ya agrupado, puede tomarse de nuevo cuantas veces
sea necesario para constituir otros grupos de simplificación. Cuanto superior
sea el número de minterms agrupados, mayor será la simplificación lograda.
– Cada
agrupación da lugar a un término en la función de salida. Para formar la
expresión algébrica de cada término se tienen en cuenta las variables (o sus
complementadas) que abarcan o engloban a la totalidad de la agrupación
considerada.
* La
función final simplificada coincidirá con la que se obtenga una vez realizadas
algébricamente todas las agrupaciones de “1s” (minterms) detectadas en el mapa
de Karnaugh.
Ejercicio
de simplificación por el método de Karnaugh
Se
trata de simplificar la siguiente función lógica expresada como sumatorio de
minterms:
F = S
(0,1,2,3,4,12,13,14)
4
La
aplicación del método enunciado se concreta en los siguientes puntos:
* En
primer lugar se traza el mapa de Karnaugh adecuado para la simplificación de
funciones lógicas de 4 variables.
* Dado
que la función está ya expresada como sumatorio de minterms, basta con
trasladar los minterms al mapa, colocando un “1” en las correspondientes
casillas
del mapa (minterms 0, 2, 3, 4, 12, 13 y 14).
* A
continuación se establecerán las agrupaciones de minterms adyacentes,
considerando que los bordes del mapa son contiguos.
El
procedimiento de agrupación consiste en asociar los minterms con casillas
afectadas por un “1” que estén dispuestas conjuntamente. Cada grupo debe estar
constituido por un número de casillas que sea potencia de la base binaria 2;
esto es: 1, 2, 4, 8 ó 16 en el caso que nos ocupa.
En
orden a conseguir una mayor simplificación, deben agruparse conjuntamente el
mayor número posible de casillas. Hay que tener en cuenta que un mismo minterm
puede intervenir en varias agrupaciones. Por ejemplo, el minterm 12 interviene
en dos agrupaciones: (12, 13) y (12, 14).
* A
partir de las agrupaciones realizadas sobre el mapa puede ya obtenerse la
función de salida simplificada. Para ello hay que construir la expresión
algebraica que corresponde a cada grupo asociado para su simplificación.
En
principio cabe tomar, por ejemplo, el grupo integrado por los minterms 0, 1, 2
y 3. El término en cuestión estará formado por el producto de las variables que
engloban al grupo en su totalidad.
Sobre
el mapa se observa que la variable “a” intercepta medio grupo, al igual que la
“b”. En definitiva, el grupo está englobado en su conjunto dentro de la zona
correspondiente a “c” complementada y “d” complementada ,luego su expresión
algebraica será:
_ _
c · d
Análogamente
se obtendrán los restantes sumandos que intervienen en la expresión.
Grupo
Expresión
_ _ _
(0, 4)
® a · b · d
_
(12,
13) ® b · c · d
_
(12,
14) ® a · c · d
La
función simplificada será, pues, la que sigue:
_ _ _ _
_ _ _
F = c ·
d + a · b · d + b · c · d + a · c · d
Si la
introducción del minterm número 1 se hubiese efectuado en conjunción con el
minterm 12 en lugar de con el número 0, en la expresión de f aparecería el
sumando (a·b·c) en lugar del (a·b·d). En ambos casos la simplificación es
correcta.
Método
de McCluskey
Este
método de simplificación se utiliza comúnmente con funciones de cinco o más
variables. Su aplicación obedece al procedimiento descrito en los siguientes
puntos:
* Se
construye una primera tabla de MacCluskey agrupando los minterms de acuerdo al
número de “1s” que contenga la expresión binaria del número decimal
identificativo de cada minterm.
* Se
compara cada zona o bloque de la tabla anterior con el que tiene inmediatamente
debajo, de tal forma que se agruparán en simplificación aquellos minterms que
verifiquen la condición siguiente:
– La
diferencia del minterm del bloque inferior con el del bloque superior debe ser
una potencia de la base 2.
Atendiendo
a la comparación y simplificación realizada, debe construirse una nueva tabla
en la que aparecerán:
– Los
números correspondientes a los minterms simplificados.
– La
diferencia entre los números decimales correspondientes a los minterms
agrupados o simplificados.
Los
minterms simplificados deben marcarse en la tabla. Los no simplificados
constituyen los términos primos.
*
Basándose en la nueva tabla realizada se repite el proceso, comparando
agrupaciones
de minterms pertenecientes a bloques contiguos. Hay que tener en cuenta que
únicamente serán simplificables las agrupaciones que cumplan las dos
condiciones siguientes:
– La
diferencia primera debe ser la misma.
– La
diferencia entre los minterms de ambas agrupaciones a simplificar debe ser una
potencia de la base binaria 2.
La
nueva tabla se construye reflejando los minterms agrupados junto con las dos
diferencias (primera y segunda) entre las agrupaciones parciales simplificadas.
Esta
operación, a aplicar sobre las tablas que se van formando sucesivamente, debe
proseguir hasta llegar a una situación no simplificable.
* Una
vez finalizada la simplificación, en base a la agrupación de minterms en tablas
sucesivas, se constituye la tabla de términos primos.
En esta
tabla final se colocan, como principio de fila, las agrupaciones o términos
primos, es decir: los no simplificables. En las columnas de dicha tabla se
incluyen la totalidad de los minterms que intervienen en la función de partida.
– Una
vez construida la tabla final, deben marcarse con una cruz las casillas
intersección entre los minterms que conforman la función de partida (columnas)
y el término primo en el que aparecen (filas).
* Es
conveniente poner una indicación en aquellos minterms que sólo aparecen en un
término primo. Los términos primos afectados, es decir, aquellos que deben
introducirse obligatoriamente en la función final simplificada se denominan
términos primos esenciales.
Una vez
introducidos los términos primos esenciales, deben cubrirse los minterms
restantes recurriendo a los términos más extensos y teniendo en cuenta que en
la función final debe aparecer el menor número posible de términos.
* La
función final simplificada estará formada por los términos primos utilizados
para la introducción o realización de la totalidad de minterms que componen la
función original.
La
traducción de las agrupaciones o términos primos a términos algebraicos se
lleva a cabo de la siguiente forma:
– Se
toman las diferencias que afectan al término primo en cuestión.
– El
término algebraico estará formado por la expresión canónica típica: conjunto
que contiene ordenadas todas las variables cuyo peso son las diferencias
existentes en el término primo tratado.
Ejercicio
de simplificación el método de MacCluskey
Para
desarrollar este ejemplo se utilizará la misma función de partida que en el
caso de la simplificación por el método Karnaugh:
f = S
(O, 1 , 2, 3, 4, 12, 13, 14)
4
El proceso
de simplificación obedece al procedimiento descrito en la zona teórica; de ahí
que sólo se detallen las tablas y observaciones específicas a que haya lugar:
N.º
minterm
Ningún
1 0 x
…………….
Un 1 1
x
2 x
4 x
…………….
Dos 1 3
x
12 x
…………….
Tres 1
13 x
14 x
Minterms
Diferencia
0 – 1 1
x
0 – 2 2
x
0 – 4 4
x
……………………………………….
1 – 3 2
x
2 – 3 1
x
4 -12 8
……………………………………….
12 -13
1
12 -14
2
Minterms
Diferencias
0-1-2-3
1 – 2 Al coincidir, se
0-2-1-3
2 – 1 elimina uno de los grupos
El paso
siguiente es formar la tabla final. En las columnas figurarán la totalidad de
los minterms que aparecen en la función f, mientras que en las filas se
reflejarán los términos no simplificados (no señalados con una “x”) recogidos
en las tablas construidas en los pasos anteriores.
*
Términos primos esenciales:
(12 –
13)
(12 –
14)
(0 – 1
– 2 – 3)
Al
tomar estos términos para componer la función de salida se observa que resta
únicamente por introducir el minterm número 4. En este caso es indiferente
introducir el minterm 4 con el término (0-4) o con el (4-12).
Esta
doble posibilidad surgió también en el ejemplo desarrollado anteriormente, en
el que la simplificación de f se acometió aplicando el método de Karnaugh. Al
igual que entonces adoptaremos de nuevo el término (0-4).
* Por
último, pasamos a obtener las expresiones algebraicas correspondientes a cada
uno de los términos que integran la función simplificada.
Eliminación
de variables
Término
Difere. de peso diferente simplif.
_ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
0-1-2-3
1-2 a b c d a b c d a b c d a b c d = c·d
_ _ _ _
12-14 2
a b c d a b c d = a·c·d
_ _ _ _
12-13 1
a b c d a b c d = b·c·d
_ _ _ _
_ _ _ _ _ _
0-4 4 a
b c d a b c d = a·b·d
En
definitiva, la función final de salida será:
_ _ _ _
_ _ _
f = c·d
+ a·c·d + b·c·d + a·b·d
Que, efectivamente,
coincide con la resultante obtenida al aplicar el método de Karnaugh.
Los
métodos de Karnaugh y McCluskey se han estudiado precisando su aplicación a
funciones expresadas como sumatorio de minterms. No obstante, ambos métodos son
totalmente aplica bles a funciones expresadas como productorio de maxterms, sin
necesidad de introducir modificación alguna en el procedimiento genérico.
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