Los números pueden representarse de acuerdo a diversos
sistemas de numeración que se diferencian por su base.
La base de un sistema de numeración es el número de
símbolos distintos utilizados para la representación de magnitudes.
* Así, por ejemplo, el sistema decimal o de base 10 utiliza diez símbolos para la representación de los números: O, 1, 2, 3, 4, 5…
* En el ámbito de la electrónica digital, o, dicho de otra forma, de los sistemas lógicos digitales, el sistema de numeración utilizado es el binario o de base 2.
* Así, por ejemplo, el sistema decimal o de base 10 utiliza diez símbolos para la representación de los números: O, 1, 2, 3, 4, 5…
* En el ámbito de la electrónica digital, o, dicho de otra forma, de los sistemas lógicos digitales, el sistema de numeración utilizado es el binario o de base 2.
Los números pueden representarse de acuerdo a diversos
sistemas de numeración que se diferencian por su base.
La base de un sistema de numeración es el número de
símbolos distintos utilizados para la representación de magnitudes.
* Así, por ejemplo, el sistema decimal o de base 10
utiliza diez símbolos para la representación de los números: O, 1, 2, 3, 4, 5…
* En el ámbito de la electrónica digital, o, dicho de
otra forma, de los sistemas lógicos digitales, el sistema de numeración
utilizado es el binario o de base 2.
Los dos símbolos adoptados para la representación de
magnitudes son, en este caso, los dígitos 0 y 1.
En cualquier sistema de numeración de base b, los
dígitos o símbolos para representación de cantidades poseen un valor absoluto
inferior a la base b. Esta propiedad se puede comprobar en los dos sistemas de
numeración apuntados anteriormente:
– Sistema decimal o de base 10:
Símbolos de representación 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9.
En efecto, se verifica que di < b = 10. (di
representa un dígito cualquiera del sistema de numeración). - Sistema binario o
de base 2: Símbolos de representación 0, 1. De nuevo se verifica que di < b
= 2. * En general, sea cual fuere el sistema de numeración, siempre se verifica
la propiedad siguiente: 0 £ di < b En donde: di es un dígito cualquiera del
sistema de numeración, y b es la base del sistema de numeración considerado.
Representación de magnitudes La representación de un número cualquiera N en un sistema
de numeración de base b obedece a la expresión siguiente: N(b = an · bn + an-1
· bn-1 + ... + a1 · b1 + a0 · b0 + a-1 · b-1 + ... + a-p · bp Siendo: b: base
del sistema de numeración. ai: dígito perteneciente al sistema de numeración (O
£ ai < b). n + 1: número de dígitos enteros. p: número de dígitos
fraccionarios. * Ejemplo 1: representación del número decimal 587,54(10 por
descomposición en serie. Dado que el número está en el sistema de numeración
decimal, se cumple que: b = 10 0 £ di < 10 Utilizando, pues, la expresión
enunciada, resulta: 587,5410 = 5 · 102 + 8 · 101 + 7 · 100 + 5 · 10-1 + 4 ·
10-2 Donde: n = 2 ® n + 1 = 3 dígitos enteros. p = 2 ® p = 2 dígitos
fraccionarios. * Ejemplo 2: representación del número binario 1101,011(2 por
descomposición en serie. En el sistema binario se verifica que: b = 2 0 £ di
< 2 Y aplicando la expresión anterior, se obtiene: 1101,0112 = 1 · 23 + 1 ·
22 + 0 · 21 + 1 · 20 + 0 · 2-1 + 1 · 2-2 + 1 · 2-3 Donde: n = 3 ® n + 1 = 4
dígitos enteros. p = 3 ® p = 3 dígitos fraccionarios.
Sistema binario
El sistema de numeración binario o de base 2 utiliza
para la representación de magnitudes los símbolos 0 y 1.
El dígito o elemento mínimo de información binaria
recibe la denominación de bit (contracción del apelativo inglés Binary DigiT).
Este sistema de numeración se utiliza para representar
los datos en los equipos de cálculo y control automático debido a:
– La seguridad y rapidez de respuesta de los elementos
físicos que poseen dos estados diferenciados.
– La simplicidad de las operaciones aritméticas en el
sistema binario.
Existen muy diversos códigos binarios derivados del
sistema binario básico o Código Binario Natural. Este código se obtiene en base
a una distribución progresiva de potencias crecientes de la base (2),
denominadas pesos, tal como refleja la tabla adjunta.
Con n dígitos pueden obtenerse hasta 2n
configuraciones biarias distintas. Cada configuración estará en correspondencia
un número decimal determinado.
Estableciendo un sistema de asignaciones específico y
biunívoco entre las configuraciones binarias y los diversos números decimales,
puede generarse cualquier tipo de código binario. De todos ellos se estudiarán
posteriormente los de mayor incidencia el terreno de la electrónica digital.
Código binario natural
… 28 27 26 25 24 23 22 21 20
Sistema Pesos
decimal …256 128 64 32 16 8 4 2 1
… b8 b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0 Bits
0 0
1 1
2 1 0
3 1 1
4 1 0 0
5 1 0 1
6 1 1 0
7 1 1 1
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1
10 1 0 1 0
14 1 1 1 0
27 1 1 0 1 1
32 1 0 0 0 0 0
40 1 0 1 0 0 0
100 1 1 0 0 1 0 0
130 1 0 0 0 0 0 1 0
256 1 0 0 0 0 0 0 0 0
( Equivalencia entre el sistema de numeración decimal
y el Código Binario Natural.)
Código binario natural
Decimal b3 b2 b1 b0
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 0
3 0 0 1 1
4 0 1 0 0
5 0 1 0 1
6 0 1 1 0
7 0 1 1 1
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1
10 1 0 1 0
11 1 0 1 1
12 1 1 0 0
13 1 1 0 1
14 1 1 1 0
15 1 1 1 1
( Código Binario Natural de 4 bits.)
Sistema octal
El sistema de numeración octal es, junto con el
decimal y binario, uno de los más extendidos en el ámbito de la representación
de magnitudes numéricas. La base del sistema de numeración octal es 8 y los
símbolos para la representación de cantidades son: O, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.
Tal como ya se ha definido para los sistemas de
numeración en general, los dígitos para la representación de números en el
sistema octal cumplen la condición siguiente:
0 £ dj < b = 8 Binario Octal 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0
2 0 1 1 3 1 0 0 4 1 0 1 5 1 1 0 6 1 1 1 7 ( Correspondencia entre los sistemas
octal y binario.) El sistema de numeración octal posee una propiedad de gran
interés que favorece su empleo para representar cantidades a manipular por
medio de circuitos digitales: b = 8 = 23. Semejante relación con el sistema
binario facilita la conversión -directa e inversaentre ambos sistemas de
numeración. Cada número octal se representa con tres dígitos binarios. La
conversión entre ambos sistemas se reduce a aplicar el procedimiento indicado
en los siguientes ejemplos. * Ejemplo 1: Conversión a binario del número octal
641,3(8 641,3(8 ® 6 4 1 , 3 ¯ ¯ ¯ ¯ 110 100 001 011 En consecuencia: 641,3(8 =
110100001,011(2 * Ejemplo 2: Conversión a octal del número binario
010111001,01(2 010111001,01(2 ® 010 111 001, 01 ¯ ¯ ¯ 2 7 1 , 2 En definitiva:
010111001,01(2 = 271,2(8
Sistema hexadecimal
La base del sistema de numeración hexadecimal es 16 y
los símbolos que
intervienen en la codificación de magnitudes son: los
dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y las letras A, B, C, D, E y F.
Decimal Binario Hexadecimal
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1
2 0 0 1 0 2
3 0 0 1 1 3
4 0 1 0 0 4
5 0 1 0 1 5
6 0 1 1 0 6
7 0 1 1 1 7
8 1 0 0 0 8
9 1 0 0 1 9
10 1 0 1 0 A
11 1 0 1 1 B
12 1 1 0 0 C
13 1 1 0 1 D
14 1 1 1 0 E
15 1 1 1 1 F
( Equivalencia entre los sistemas decimal, binario y
hexadecimal.)
Este sistema posee una propiedad semejante a la
enunciada para el sistema de numeración octal, propiedad que favorece la
presencia del sistema hexadecimal en el mundo de los circuitos lógicos.
Cada símbolo hexadecimal se codifica mediante cuatro
dígitos binarios. E inversamente cada grupo de cuatro bits se representa por
medio de una letra o cifra del sistema hexadecimal.
* Ejemplo 1: Conversión a binario del número
hexadecimal 4CF2(16
4CF2(16 ® 4 C F 2
¯ ¯ ¯ ¯
0100 1100 1111 0010
Luego:
4CF2(16 = 0100110011110010( 2
* Ejemplo 2: Conversión a hexadecimal del número
binario 0101111110(2
0101111110(2 ® 01 0111 1110
¯ ¯ ¯
1 7 E
En consecuencia:
0101111110(2 = 17E(16
El sistema hexadecimal se utiliza con frecuencia para
la representación de informaciones en el entorno de equipos de proceso de
datos, fundamentalmente en tareas de programación de or denadores utilizando
lenguaje de ensamble.
Cambios de base
El diseño, e incluso el mantenimiento de circuitos
lógicos, requiere del operador un conocimiento de los sistemas de numeración
tal que le permita interpretar las diversas magnitudes lógicas, sea cual fuere
el sistema de representación adoptado.
El sistema de numeración básico o de referencia es el
decimal. Por lo tanto, es preciso aprender a trasladar magnitudes de un código
cualquiera a decimal, y viceversa.
Puesto que el sistema de numeración convencionalmente
utilizado es el de base 10, sólo existe familiaridad con el uso de las tablas
de multiplicación con números decimales. En consecuencia, no resulta eficaz en
todos los casos la aplicación del polinomio de descomposición en serie
enunciado al principio:
N(b = an · bn + an-1 · bn-1 + … + a1 · b1 + a0 · b0 +
a-1 · b-1 + +…+ a-p · b-p
La aplicación de este polinomio sólo resultará eficaz
para operar las conversiones de una base cualquiera b1 a base decimal bD.
En consecuencia, para cubrir todas las necesidades de
conversión de números de uno a otro sistema de numeración se establecen los
tres casos generales que siguen:
– Caso A. Cambio de una base b1 a base decimal:
b1 ® bD
– Caso B. Cambio de base decimal a base b2:
bD ® b2, siendo bD > b2
– Caso C. Cambio de una base b1 a otra b2, ambas
distintas a la decimal:
b1 ® b2
* Caso A: b1 ® bD
Para determinar el equivalente en el sistema decimal
de un número expresado en otra base b, se utiliza el polinomio de
descomposición enunciado anteriormente.
Ejemplo: Conversión del número binario 1101,10(2 a
expresión decimal (N(10)
1101,10(2 = 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 + 1 ·
2-1 + 0 · 2-2
Operando los productos resulta:
1101,10(2 = 8 + 4 + 0 + 1+ 0,5 + 0 = 13,5
Luego:
1101,10(2 = 13,5(10
* Caso B: bD ® b2, siendo bD > b2.
En este segundo caso general caben dos métodos dependiendo
de que el número decimal de origen sea entero o fraccionario.
– Números enteros.
Si un número entero expresado en base 10 se divide
sucesivamente por la base de destino b2, el último cociente y los restos
obtenidos formarán la expresión del número en la nueva base b2.
Relación entre los Sistemas base 16 y base 2
El Sistema
de Numeración Hexadecimal es
una abreviación del Sistema de Numeración Binario. Si a cada cifra
de un Número en Hexadecimal se
lo reemplaza por su equivalente Número en binario, se habrá
convertido
el número en hexadecimal a número binario.
Ejemplo:
AB16= 1001210112. Donde A16 =
10012 y B16 = 10112
Cuatro
(4) cifras binarias se reemplazan por una (1) cifra hexadecimal. De esta
manera se puedeconvertir un número en base 16 a uno en base 2.
También
se puede convertir un número binario en
uno hexadecimal de la siguiente manera:
- Se separa
el número binario en grupos de 4 dígitos empezando por la
derecha.
- Si al final queda
un grupo de 3 dígitos o menos, se completa el grupo de 4 con ceros (0) al
lado izquierdo.
- Se busca el equivalente
en base 16 de cada uno de los grupos y se reemplaza.
Nota:
(9B)16 = (9B)H.
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